討論橢圓的幾何性質時,一定要將方程化為標準方程,標準方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來,另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關系式.跟蹤訓練1 求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率.解:由已知得x^2/(1/m^2 )+y^2/(1/(4m^2 ))=1(m>0),因為01/(4m^2 ).所以橢圓的焦點在x軸上,并且半長軸長a=1/m,半短軸長b=1/2m,半焦距c=√3/2m,所以橢圓的長軸長2a=2/m,短軸長2b=1/m,焦點坐標為("-" √3/2m "," 0),(√3/2m "," 0),頂點坐標為(1/m "," 0),("-" 1/m "," 0),(0",-" 1/2m),(0"," 1/2m),離心率e=c/a=(√3/2m)/(1/m)=√3/2.例2 橢圓x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的兩焦點為F1,F2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為 . 解析:方法一:如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=√("|" F_1 F_2 "|" ^2 "-|" NF_2 "|" ^2 )=√(4c^2 "-" c^2 )=√3c.由橢圓的定義可知|NF1|+|NF2|=2a,∴√3c+c=2a,∴a=("(" √3+1")" c)/2.∴e=c/a=2/(√3+1)=√3-1.方法二:注意到焦點三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,則由離心率的焦點三角形公式,可得e=(sin∠F_1 NF_2)/(sin∠NF_1 F_2+sin∠NF_2 F_1 )=sin90"°" /(sin30"°" +sin60"°" )=1/(1/2+√3/2)=√3-1.